José Cunha nasceu em Angra dos Reis, no dia 22 de outubro de 1911. Seu pai se chamava Manuel Ferreira da Cunha, português. Sua mãe, Julia Maria Ferreira, brasileira, era descendente de uma família proprietária de escravizados na região de Angra dos Reis. Embora não gostasse que o filho falasse desse passado, ela teve quatro escravizados que permaneceram com ela até o nascimento de José Cunha.
Desde pequeno, Cunha teve acesso à educação formal e estudou em uma escola pública que ficava dentro da Quinta da Boa Vista, onde cursou até o sexto ano. Seu pai, que nessa época trabalhava como guarda-jardim também na Quinta da Boa Vista, morreu assassinado a tiros por ladrões. Este acontecimento fez com que José Cunha, ainda criança, tivesse que trabalhar para sustentar sua mãe e seus três irmãos menores, ingressando em uma oficina de encadernação. Mesmo assim, não parou de estudar e transferiu-se para o turno da noite, em uma escola que ficava na rua São Francisco Xavier, na Tijuca. Um de seus professores foi Genésio Pacheco, médico bacteriologista do Instituto Oswaldo Cruz. Genésio decidiu premiar os três melhores alunos de sua classe com um emprego. José Cunha ficou em primeiro lugar e foi trabalhar no Instituto Oswaldo Cruz, com um salário de 90 mil réis.
Em 24 de novembro de 1921, com apenas dez anos, José Cunha foi contratado como servente no laboratório de bacteriologia. Apesar da pouca idade, Cunha aprendeu tudo muito rápido. Em pouco tempo, já sabia preparar qualquer tipo de material, isolava amostras e fazia repique de culturas de tifos e paratifos. Após aproximadamente dois anos no setor, os cientistas acharam melhor transferi-lo de laboratório, pois o risco de contaminação era muito alto. José Cunha foi deslocado para a protozoologia. Neste setor aprendeu muito com outros colegas mais experientes e conheceu o maior de seus amigos, Attilio Borriello. Os dois estavam sempre juntos, colaborando mutuamente nas questões profissionais. Os fortes laços de amizade extrapolaram o âmbito do trabalho e incluíram relações familiares, com amizade entre as esposas e apadrinhamento dos filhos.
Para José Cunha, o fato de ser uma criança também facilitava sua relação com os cientistas. Ele tinha algumas liberdades com os pesquisadores que os outros colegas não tinham. Pediu a Carlos Chagas uma casa no Instituto para morar com a família. Chagas negou-lhe a casa, mas no mesmo instante concedeu um aumento de salário de 30 mil réis. Em Manguinhos, as jornadas de trabalho estendiam-se até à noite e aos domingos. Muitas vezes, ainda bem jovem, Cunha esperava a saída da enfermeira do Hospital para que pudesse voltar para casa. Em outras ocasiões, teve que dormir no próprio laboratório, por não ter o dinheiro da passagem. Durante o tempo em que trabalhou no Instituto, José Cunha sempre procurou uma maneira de complementar sua renda, arrumando serviço em diversos lugares. Na adolescência trabalhou como jóquei e tratador de cavalos. Mais velho, tal como outros colegas, após o expediente ia para os laboratórios de análises clínicas que os pesquisadores mantinham fora da instituição.
Em 1937, já exercendo o cargo de auxiliar de laboratório, foi para o Instituto de Patologia Experimental do Norte, com sede em Belém, para colher amostras para estudos e pesquisas sobre a leishmaniose visceral americana. Esta viagem foi um acontecimento marcante na vida profissional de José Cunha, porque foi responsável por organizar o laboratório de leishmania em Belém, sob a coordenação de Evandro Chagas. José Cunha gostava muito do trabalho de laboratório, mas guardou certo ressentimento em relação ao Instituto Oswaldo Cruz, mesmo depois de ter ganhado uma medalha de ouro pelos 56 anos dedicados à instituição. Sentia-se preso ao trabalho e não teve oportunidades de continuar seus estudos. Também se ressentia por não ter conseguido uma colocação para nenhum de seus quatro filhos, apesar de ter solicitado a vários pesquisadores em épocas diferentes.
Na década de 1970, quando o Instituto Oswaldo Cruz mudou sua natureza jurídica para fundação, José Cunha negou-se a optar pela continuidade de sua carreira dentro do novo modelo e foi posto em disponibilidade, ficando 10 anos sem salário. Era o período da ditadura militar e, de forma concomitante, neste processo, o laboratório de protozoologia em que José Cunha trabalhava foi fechado. Para se sustentar, trabalhou em um laboratório da Universidade Federal do Rio de Janeiro, na Ilha do Fundão. Em 1980, sua esposa, D. Noêmia, escreveu uma carta para o Ministério da Saúde e José Cunha conseguiu, finalmente, sua aposentadoria, mas como não tinha curso formal, teve que passar por uma avaliação para que pudesse ser aposentado como técnico.
Terminou sua vida profissional dando aulas de parasitologia, em um curso de medicina, em uma faculdade privada em Nova Iguaçu, mas não se considerava professor, pois não tinha o enquadramento funcional correspondente. Dizia que apenas gostava muito de ensinar e de estar no meio dos jovens. Encerrou suas atividades profissionais em 1993.